Гипотезы при изгибе. Нейтральный слой, радиус кривизны, кривизна, распределение деформаций и нормальных напряжении по высоте поперечного сечения стержня. Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе стержней. Расчет балок на прочность при изгибе. Перемещения при изгибе.
Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе. Так как нормальные напряжения зависят только от изгибающих моментов, то вывод формулы для вычисления можно производить применительно к чистому изгибу. Отметим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые допущения.
Таких гипотез при изгибе три:
1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) - сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой - сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;
2) гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;
3) гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не давят друг на друга.
Рис. 28. Гипотеза Бернулли
Статическая задача о плоском изгибе
. Изгибающий момент в сечении
представляет собой сумму моментов всех элементарных внутренних
нормальных сил σ.dA, возникающих на элементарных площадках поперечного
сечения балки (рис. 29), относительно нейтральной оси: 
.
Данное выражение представляет собой статическую сторону задачи о плоском изгибе. Но его нельзя использовать для определения нормальных напряжений, так как неизвестен закон распределения напряжений по сечению.
Рис. 29. Статическая сторона задачи
Геометрическая сторона задачи о плоском изгибе . Выделим двумя поперечными сечениями элемент балки длиной dz. Под нагрузкой нейтральная ось искривляется (радиус кривизны ρ), а сечения поворачиваются относительно своих нейтральных линий на угол dθ. Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом остается неизменной (рис. 30, б):
Рис. 30. Геометрическая сторона задачи:
а - элемент балки; б - искривление нейтральной оси; в - эпюра σ.dA; г - эпюра ε
Определим длину отрезка волокон, отстоящего от нейтрального слоя на расстоянии y
dz 1 = (ρ + y)dθ .
Относительное удлинение в этом случае будет
Зависимость отражает геометрическую сторону задачи о плоском изгибе, из которой видно, что деформации продольных волокон изменяются по высоте сечения по линейному закону.
Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем.
Линия, по которой поперечное сечение балки пересекается с нейтральным слоем балки, называется нейтральной линией сечения.
Физическая сторона задачи о плоском изгибе. Используя закон Гука при осевом растяжении, получаем
Подставив в выражение, отражающее статическую сторону задачи о плоском изгибе, значение σ, получаем
Подставив значение в исходную формулу, получаем
(13)
Данное выражение отражает физическую сторону задачи о плоском изгибе, которое дает возможность рассчитать нормальные напряжения по высоте сечения.
Хотя это выражение получено для случая чистого изгиба, но как показывают теоретические и экспериментальные исследования, оно может быть использовано и для плоского поперечного изгиба.
Нейтральная линия. Положение нейтральной линии определим из условия равенства нулю нормальной силы в сечениях балки при чистом изгибе
Так как M x ≠ 0 и I x ≠ 0, то необходимо, чтобы нулю был равен интеграл . Данный интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной оси. Так как статический момент сечения равен нулю только относительно центральной оси, следовательно, нейтральная линия при плоском изгибе совпадает с главной центральной осью инерции сечения.
Касательные напряжения . Касательные напряжения, которые возникают в сечениях балки при плоском поперечном изгибе, определяются по зависимости:
(14)
где Q - поперечная сила в рассматриваемом сечении балки; S xo - статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной оси балки; b - ширина сечения в рассматриваемом слое; Ix -момент инерции сечения относительно нейтральной оси.
Касательные напряжения равны нулю в крайних волокнах сечения и максимальны в волокнах нейтрального слоя.
Расчет балок на прочность при изгибе. Прочность балки будет обеспечена, если будут выполняться условия:
(15)
Максимальные нормальные напряжения при изгибе возникают в сечениях, где действует максимальный изгибающий момент, в точках сечения наиболее удаленных от нейтральной оси
Максимальные касательные напряжения возникают в сечениях балки, где действует максимальная поперечная сила
Касательные напряжения τmax обычно малы по сравнению с σmax и в расчетах, как правило, не учитываются. Проверка по касательным напряжениям производится только для коротких балок.
Перемещения при изгибе . Под расчетом на жесткость понимают оценку упругой податливости балки под действием приложенных нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать установленных нормами пределов.
Условие жесткости при изгибе
Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к оси балки, называется прогибом. Прогиб обозначается буквой W.
Наибольший прогиб в пролете или на консоли балки, называется стрелой прогиба и обозначается буквой ƒ.
Угол q , на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению и есть угол поворота.
Угол поворота считается положительным, при повороте сечения против хода часовой стрелки
Угол поворота сечения равен значению производной от прогиба по координате Z в этом же сечении, то есть:
Уравнение упругой линии балки
(16)
Существуют три метода решения дифференциального уравнения упругой линии балки. Это метод непосредственного интегрирования, метод Клебша и метод начальных параметров.
Метод непосредственного интегрирования . Проинтегрировав уравнение упругой линии балки первый раз, получают выражение для определения углов поворота:
Интегрируя второй раз, находят выражения для определения прогибов:
Значения постоянных интегрирования С и D определяют из начальных условий на опорах балки
Метод Клебша . Для составления уравнений необходимовыполнить следующие основные условия:
- начало координат, для всех участков, необходимо расположить в крайнем левом конце балки;
- интегрирование дифференциального уравнения упругой линии балки проводить, не раскрывая скобок;
- при включении в уравнение внешнего сосредоточенного момента М его необходимо помножить на (Z - a), где а - координата сечения, в котором приложен момент;
- в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных условий нагружения вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления
Метод начальных параметров
Для углов поворота
(17)
Для прогибов:
(18)
где θ - угол поворота сечения; w - прогиб; θo - угол поворота в начале координат; w0 - прогиб в начале координат; dі - расстояние от начало координат до i-й опоры балки; ai - расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенного момента Mi; bi - расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенной силы Fi; сi - расстояние от начало координат до начала участка распределенной нагрузки qi; Ri и Мрi - реакция и реактивный момент в опорах балки.
Определение стрелы прогибов для простых случаев
Рис. 31. Примеры нагрузок балок
Вычисление перемещений методом Мора
Если не требуется знание уравнения изогнутой линии бруса, а необходимо определить только линейные или угловые перемещения отдельного сечения, удобнее всего воспользоваться методом Мора.Для балок и плоских рам интеграл Мора имеет вид:
где δ - искомое перемещение (линейное или угловое); М p , М i - аналитические выражения изгибающих моментов соответственно от заданной и единичной cилы; EJ x - жесткость сечения балки в плоскости изгиба. При определении перемещений нужно рассматривать два состояния системы: 1 - действительное состояние, с приложенной внешней нагрузкой; 2 - вспомогательное состояние, в котором балка освобождается от внешней нагрузки, а к сечению, перемещение которого определяется, прикладывается единичная сила, если определяется линейное перемещение, или единичный момент, если определяется угловое перемещение (рис. 32).
Рис. 32. Определение перемещений:
а - действительное состояние; б, в - вспомогательные состояния
Формулу Мора можно получить, например. используя принцип возможных перемещений.
Рис. 33. Схема рамы:
а - под воздействием силы; б - внутренние усилия
Рассмотрим схему (рис. 33а), когда в точке А в направлении искомого перемещения ΔA приложена единичная сила , вызывающая в поперечном сечении системы внутренние силовые факторы (рис. 33, б). В соответствии с принципом возможных перемещений работа этих внутренних силовых факторов на любых возможных перемещениях должна равняться работе единичной силы на возможном перемещении δΔA:
Выбираем возможные перемещения пропорциональными действительным:
И после подстановки получим:
При учете, что
приходим к формуле Мора
(19)
которая служит для определения любых обобщённых перемещений в стержневых системах.
В случае, когда брус работает только на изгиб (Mx ≠ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0), выражение (1) принимает вид:
(20)
Правило Верещагина позволяет заменить непосредственное интегрирование в формулах Мора так называемым перемножением эпюр. Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина, заключающемся в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой (ординаты используются только с прямолинейных эпюр). Эпюры сложного очертания могут быть разбиты на ряд простейших: прямоугольник, треугольник, квадратичную параболу и т.п. (рис. 34).
Рис. 34. Простейшие эпюры
Справедливость правила Верещагина .
Рис. 35. Схема перемножения эпюр:
а - произвольная эпюра; б - прямолинейная
Приведены две эпюры изгибающих моментов, из которых одна Мk имеет произвольное очертание, а другая Мi прямолинейна (рис. 35). Сечение стержня считаем постоянным. В этом случае
Величина Mkdz представляет собой элементарную площадь dω эпюры Мk (заштрихована). Получаем
Но Mi = ztg α, поэтому,
Выражение представляет собой статический момент площади эпюры Мk относительно оси у, проходящей через точку О, равный ωkΖc, где ωk - площадь эпюры моментов; Ζс - расстояние от оси у до центра тяжести эпюры М k . Из рисунка очевидно:
Ζ c = М i /tg α,
где Мi - ордината эпюры Mi, расположенная под центром тяжести эпюры Мk (под точкой С).
(21)
Формула (21) представляет правило вычисления интеграла Мора: интеграл равен произведению площади криволинейной эпюры на ординату, взятую с прямолинейной эпюры и расположенную под центром тяжести криволинейной эпюры.
Встречающиеся на практике криволинейные эпюры могут быть разбиты на ряд простейших: прямоугольник, треугольник, симметричную квадратичную параболу и т.п.
При помощи разбивания эпюр на части можно добиться того, что при перемножении все эпюры были бы простой структуры.
Пример вычисления перемещений . Требуется определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 36, а), способом Мора-Верещагина.
Рассмотрим 3 состояния балки: грузовое состояние (при действии распределенной нагрузки q;) ему соответствует эпюра Mq (рис. 36, б), и два единичных: при действии силы , приложенной в точке С (эпюра , рис. 36, в), и момента , приложенного в точке В (эпюра , рис. 36, г).
Прогиб балки в середине пролета:
Обратим внимание, что перемножение эпюр выполняется для половины балки, а затем из-за симметрии) полученный результат удваивается. При вычислении угла поворота сечения в точке В площадь эпюры Mq умножается на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (1/2, рис. 9, г), т.к. эпюра изменяется по прямой линии:
Рис. 36. Пример расчета:
а - заданная схема балки; б - грузовая эпюра моментов;
в - единичная эпюра от единичной силы; г - от единичного момента
После определения начального угла поворота вычисляется прогиб сечения А.
, показанная на рис.2.3 пунктиром, вводится в тех случаях, когда прогиб определяется в сечении, которое находится за пределами участка действия распределенной нагрузки.Угол поворота сечения В вычисляется по формуле (2.20), в которой следует принять
2.2.2. Интеграл Мора.
Универсальная формула Мора вычисления упругих перемещений в стержневых системах является естественным обобщением формулы Кастильяно. Для линейно упругих стержневых систем формула Кастильяно имеет вид
Δ К -обобщенное перемещение сечения К,
Р К –обобщенная сила, соответствующая обобщенному перемещению Δ К,
U –функция потенциальной энергии.
Потенциальная энергия является квадратичной функцией усилий и для изгибаемых элементов записывается в виде
(2.22)
В подавляющем большинстве случаев влиянием поперечной силы на величину потенциальной энергии пренебрегают. Комбинирование формул (2.21) и (2.22) дает
(2.23)
Частная производная соответствует функции изгибающего момента , вызванного действием единичной обобщенной силы ,приложенной в сечении К по направлению искомого перемещения. Формула (2.23), записанная в виде
(2.24)
определяет частный вид универсальной формулы Мора применительно к определению перемещений в изгибаемых элементах.
На практике используется графоаналитический прием вычисления интеграла Мора (прием Верещагина).
‑ площадь грузовой эпюры (эпюра изгибающего момента от действия заданной нагрузки);
‑ ордината единичной эпюры (эпюра изгибающего момента от действия единичной обобщенной силы), измеренная под центром грузовой эпюры.
Вычисление интеграла Мора по формуле Верещагина в учебной литературе называется "перемножением" эпюр.
В ряде случаев при вычислении интеграла Мора удобно пользоваться формулой Симпсона
(2.26)
где индексы "н", "с", "к" ‑ обозначают соответственно начало, середину и конец участка перемножаемых эпюр.
Пример 2. Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения В балки, рассмотренной в примере 1 (рис.2.4.а).
Вычисление интеграла Мора произвести по формуле Симпсона.
Для определения прогиба сечения А строится грузовая М р (рис.2.4.б) и единичная (рис.2.4.в) эпюры изгибающих моментов.
Перемножение грузовой и единичной эпюр изгибающих моментов по формуле Симпсона дает
Для определения угла поворота опорного сечения В строится вторая единичная эпюра изгибающего момента от действия единичного момента, приложенного в сечении В балки (рис.2.4.г).
|
|
Величина угла поворота определяется перемножением грузовой и единичной (рис.2.4.г) эпюр изгибающих моментов.
Примечание. Знак минус в ответах означает, что направления действительных перемещений сечений А и В будут противоположными направлениям перемещений, соответствующих единичным обобщенным силам.
2.3.
Статически неопределимые балки
(Метод сил раскрытия статической неопределимости)
Статически неопределимые балки содержат "лишние" связи (при удалении лишних связей балки становятся статически определимыми). Число лишних связей определяет степень статической неопределимости задачи.
Статически определимая геометрически неизменяемая балка, полученная из заданной статически неопределимой путем удаления лишних связей, называется основной системой метода сил.
Алгоритм решения статически неопределимых балок методом сил рассмотрен на примере один раз статически неопределимой балки (рис. 2.5.а).
Решение задачи начинается с выбора основной системы метода сил (рис. 2.5.б). Следует отметить, что это не единственный вариант выбора основной системы (в частности, возможен вариант удаления внутренних связей путем постановки шарнира).
Суть метода сил заключается в отрицании перемещений по направлению удаленной связи. Математически это условие записывается в виде уравнения совместности перемещений
, (2.27)
δ 11 – перемещение по направлению отброшенной связи, вызванное действием единичного значения неизвестной реакции удаленной связи (рис. 2.5.в)
Δ 1Р – перемещение по направлению отброшенной связи, вызванное действием заданной нагрузки (рис. 2.5.г)
Вычисление перемещений δ 11 , Δ 1Р производится по формуле Симпсона.
Коэффициент δ 11 канонического уравнения метода сил определяется перемножением единичной эпюры (рис. 2.5.е) самой на себя
|
|
Коэффициент Δ 1Р канонического уравнения метода сил вычисляется перемножением единичной (рис. 2.5.е) и грузовой (рис. 2.5.д ) эпюр
Из решения уравнения (2.27) определяется реакция X 1 лишней связи
Этот этап решения соответствует раскрытию статической неопределимости задачи.
Эпюра изгибающего момента М x (рис. 2.5.з) в статически неопределимой балке строится по формуле
(2.28)
На рис. 2.5.ж представлена "исправленная" единичная эпюра, все ординаты которой увеличены в X 1 раз.
Рассмотренный алгоритм решения статически неопределимых задач с помощью метода сил пригоден и для решения статически неопределимых задач при кручении, при осевом действии нагрузок, а также при сложной деформации стержня.
2.4. Устойчивость сжатых стержней
Для полного представления о работе сооружения наряду с расчетами на прочность и жесткость необходимы расчеты на устойчивость сжатых и сжато-изогнутых элементов.
Инженерные объекты кроме расчетных нагрузок могут подвергаться дополнительным, не предусмотренным в расчете, малым возмущениям, способным вызвать в элементах объекта непроектную деформацию (искривление оси сжатых элементов, пространственный изгиб плоско изогнутого элемента). Результат такого дополнительного воздействия зависит от интенсивности нагрузок, действующих на элемент конструкции. Для каждого элемента существует некоторое критическое значение нагрузки, при превышении которого малое случайное возмущение вызывает необратимую непроектную деформацию. Такое состояние объекта является опасным.
4. Изгиб. определение перемещений.
4.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование.
При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y (x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки.
Между прогибами y (x ) и углами поворота сечений θ (x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии (θ и φ - углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ =tg φ =y / .
В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ =y / .
Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):
Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем
Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.
Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.
Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.
Изогнутая под действием нагрузок ось балки представляет собой плавную кривую, которая называется упругой линией. Деформация балки при изгибе характеризуется прогибом у и углом поворота поперечного сечения , который равен углу а наклона касательной к упругой линии по отношению к оси z балки. Уравнения прогибов и углов поворота сечений в общем виде записываются в виде у = f(z), а = f 2 {z)
Из математики известно, что радиус кривизны кривой y = f(z),
в любой точке определяется по формуле где
Ввиду малости деформаций пренебрегаем величиной (у) 2
(так как она значительно меньше единицы) и тогда р * 1 /у".
Ранее мы вывели формулу
; подставляя в нее полученное приближенное значение радиуса кривизны, имеем дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Чтобы получить уравнение углов поворота сечений а = / 2 (z ), надо это уравнение проинтегрировать один раз, причем ввиду малости деформаций будем считать, что у" = tga * a , рад. Чтобы получить уравнение прогибов у = fi(z), надо это же уравнение проинтегрировать дважды.
Рассмотрим балку постоянного сечения, нагруженную моментом т,
сосредоточенной силой F
и равномерно распределенной нагрузкой
Рис. 6.23
Начало координат возьмем на левом конце балки, ось у направим вверх, а ось z - вправо. Рассматриваемая балка имеет пять участков, каждому из которых соответствует свое уравнение моментов, уравнение прогибов и уравнение углов поворота сечений. Обратим внимание на то, что упругая линия балки есть плавная кривая, следовательно, на границах участков значения углов поворота сечения и прогибов, вычисленных из уравнений соседних участков, будут совпадать. Интегрирование дифференциальных уравнений будем производить, не раскрывая скобок в уравнениях моментов, что сказывается лишь на значениях произвольных постоянных.
Участок 1 :
Участок 2
Подставив в уравнения первого и второго участков значение z~ о, получим
Участок 3:
Участок 4:
Так как на границах смежных участков справедливы уравнения и предыдущего и последующего участков, то Q = С 2 = С 3 = С 4 = С, D Z?2 Z) 3 Z?4 Z).
Обозначив через ао угол поворота сечения в начале координат (в радианах), а через у 0 - прогиб в начале координат, при z = 0 получим
Так как каждой отдельной нагрузке в уравнениях соответствует отдельное слагаемое, то в общем виде можно записать
обобщенное уравнение углов поворота сечений:
обобщенное уравнение прогибов:
Если равномерно распределенная нагрузка заканчивается не в конце балки, то эту нагрузку следует мысленно продолжить до конца и добавить противоположно направленную нагрузку такой же интенсивности (рис. 6.23, участок 5).
При этом в обобщенные уравнения углов поворота и прогибов соответственно добавится еще по одному слагаемому с отрицательным знаком: -
Знаки слагаемых в обобщенных уравнениях устанавливают по правилу знаков для изгибающих моментов: положительное значение у обозначает прогиб вверх, и наоборот; положительное значение а означает поворот сечения против часовой стрелки, и наоборот.
При пользовании обобщенными уравнениями следует помнить, что:
- 1) для балки, жестко защемленной левым концом, ао = 0, уо = 0;
- 2) для балки, левый конец которой лежит на опоре, ао* 0, уо = 0; для определения ао следует составить уравнение прогибов для второй опоры и приравнять его нулю;
- 3) в сечении с максимальным прогибом угол поворота сечения а = 0, так как в этой точке упругой линии касательная параллельна оси Z-
Помимо расчетов на прочность балки нередко проверяют или рассчитывают на жесткость. Условие жесткости заключается в том, что максимальный прогиб (стрела прогиба f) или максимальный угол поворота не должны превышать допускаемых величин. Расчетные уравнения на жесткость имеют вид:
Допускаемую величину прогиба обычно задают в долях длины пролета /, например, для мостов [/] = (1/700...1/1000) /. Допускаемый угол поворота сечения задают в долях радиана.
В заключение параграфа выведем формулу потенциальной энергии деформации балки.
Из формулы определим кривизнуупругой линии
где dа - элементарный угол поворота сечения z на участке dz (угол смежности).
Тогда
Элементарная потенциальная энергия деформации равна элементарной работе изгибающего момента и при статическом нагружении равна
В результате интегрирования в пределах участка длиной / получим нужную формулу
Пример 6.8
Определить прогиб у в свободного конца консольной балки АВ, изгибаемой сосредоточенной силой /Грис. 6.24).
Решение. Реакция R A
и момент защемления т А
соответственно равны R A = = F,m A = FI.
Учитывая, что уо =
0 и а 0 = 0, из обобщенного уравнения прогибов находим Е1у в
= R A l 2 /в-т А 1 2 /2 .
Подставив значения R A wm,
получим
Пример 6.9
Определить максимальный прогиб и углы поворота сечений на опорах балки, показанной на рис. 6.25.
Решение. В силу симметрии балки реакции опор равны R A = R B = ql/2. Поместим начало координат на левой опоре; тогда у 0 = 0. Для определения ао используем условие, что при z = IУв = 0.
откуда а 0 = -ql 2 /(24 EI). Очевидно, что а в = -а 0 . Наибольшие углы поворота имеют опорные сечения.
Рис. 6.25
Максимальный прогиб находится посередине пролета балки, то есть при 1=1/ 2. Тогда
Следовательно,
Пример 6.10
Определить максимальный прогиб и угол поворота на опорах балки, нагруженной посередине пролета сосредоточенной силой (рис. 6.26).
Рис. 6.26
Решение. Реакции равны F/2 каждая и направлены снизу вверх. Помещаем начало координат на левой опоре, тогда уо = 0- Для определения а 0 используем условие, что при z = / прогиб равен нулю (у в = 0):
тогда
следовательно,
Ввиду симметрии угол поворота на правой опоре
Максимальный прогиб будет при z = 4
2, тогда
, следовательно,
. Окончательно
Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой . Жесткость поперечного сечения балки на изгиб постоянна и равна . Прогиб в середине пролета балки длиной равен….
Консольная балка на участке АВ нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения на изгиб по всей длине постоянна. Угол поворота сечения B , по абсолютной величине равен.…
Построим эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (). Затем построим эпюру от единичного момента (), приложенного в сечении В
. Определим угол поворота сечения В.
Для этого перемножим эпюры от заданной нагрузки и единичного момента. На левом участке результат перемножения равен нулю. На правом участке обе эпюры линейные. Если взять площадь с единичной эпюры, получим: 
. Знак «минус» показывает, что сечение В
поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента. При перемножении эпюр можно взять площадь грузовой эпюры, а ординату с единичной (как показано на рисунке).
Задание 25
При данном варианте нагружения в стержне прямоугольного (не квадратного) поперечного сечения имеет место комбинация…..
При внецентренном растяжении (сжатии) стержня в поперечном сечении возникают….
Продольная сила и изгибающий момент
В произвольном прямоугольном поперечном сечении стержня действуют внутренние силовые факторы: N – продольная сила; и − изгибающие моменты. Следовательно, имеет место комбинация.…
Растяжения и чистого косого изгиба
Изгибающие моменты можно геометрически сложить. Плоскость действия суммарного изгибающего момента не будет совпадать ни с одной из главных центральных плоскостей стержня. Поэтому имеет место комбинация растяжения и чистого косого изгиба.
На рисунке представлена схема нагружения стержня круглого сечения. В любом произвольном сечении стержня на участке II имеет место комбинация …
Плоского поперечного изгиба с кручением и растяжением
Рассекаем стержень на втором участке поперечным сечением и отбрасываем левую часть.
Из условий равновесия оставшейся части находим
Для круглого сечения () косой изгиб можно свести к плоскому изгибу, если геометрически сложить изгибающие моменты и , поперечные силы и Следовательно, на втором участке имеем плоский поперечный изгиб с кручением и растяжением.
Видами деформаций участков стержня являются …
I – изгиб с кручением, II – плоский изгиб
На рисунках изображены отсеченные части стержня. Поперечные силы условно не показаны. поэтому косой изгиб на участке II
можно свести к плоскому изгибу моментом 
. На участке I
сила вызывает деформацию – плоский изгиб с кручением. На участке II
– плоский изгиб.
Задание 26
При данном нагружении стержня (сила лежит в плоскости ) максимальное нормальное напряжение возникает в точке….
Стержень прямоугольного сечения с размерами нагружен, как показано на схеме. Сила , размеры заданы. Сила лежит в плоскости . Значение нормального напряжения в точке равно….
(т.к. 
После подстановки )
Максимальное нормальное растягивающее напряжение в стержне прямоугольного сечения с размерами и равно . Длина стержня l задана. Значение силы F равно.…
Максимальное нормальное растягивающее напряжение возникает в точке В , расположенной в сечении, бесконечно близком к заделке.
Учитывая, что в данном сечении и в точке В
они вызывают растяжение, получим 
Следовательно, значение силы
Представлены эпюры распределения нормальных напряжений в поперечном сечении стержня. Косому изгибу при заданном нагружении стержня соответствует эпюра …
Из физического представления о процессе изгиба ясно, что верхние слои стержня будут растягиваться, а нижние – сжиматься. Кроме того, при косом изгибе нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. Поэтому верным является 3 вариант.
Задание 27
Прочность колоны при удалении точки приложения сжимающей силы от центра тяжести сечения…….
Уменьшается
Линия действия сжимающей силы проходит через точку К контура ядра сечения. Нейтральная линия занимает положение……
(т.к. 
)
Стержень работает на внецентренное сжатие. В опасных точках поперечного сечения имеем ______________ напряженное состояние.
Линейное
При внецентренном сжатии в поперечном сечении стержня возникают два внутренних силовых фактора: продольная сила и изгибающий момент. Поэтому, напряжения в любой точке поперечного сечения будут складываться из нормальных напряжений осевого сжатия и нормальных напряжений от чистого, в общем случае косого, изгиба. Следовательно, в опасных точках сечения имеем линейное напряженное состояние.
Задание 28
Схема нагружения стержня круглого поперечного сечения показана на рисунке. Опасной будет точка……
Стержень круглого сечения диаметром , высотой нагружен двумя силами, лежащими в плоскости . Значение эквивалентного напряжения в точке , по теории больших касательных напряжений, равно……(Касательные напряжения от поперечной силы в расчетах не учитывать)
Стержень круглого сечения диаметром изготовлен из пластичного материала. Значение силы . Эквивалентное напряжение в опасной точке стержня, по теории наибольших касательных напряжений, равно.…
52 МПа
Опасное сечение при данном нагружении стержня будет у заделки. Влиянием поперечных сил пренебрегаем. Значения избегающих моментов и крутящего момента в опасном сечении показаны на рисунке.
Используя теорию наибольших касательных напряжений, найдем эквивалентное напряжение в опасной точке: 
или 
После подстановки заданных значений и получим 
Стержень работает на деформации изгиб и кручение. Напряженное состояние, которое возникает в опасной точке поперечного сечения круглого стержня, называется …
Плоским
Если элементарный объем поворачивать вокруг нормали к внешней цилиндрической поверхности, то можно отыскать такое его положение, при котором касательные напряжения на его гранях будут равны нулю, а нормальные напряжения (главные напряжения) нулю равняться не будут. Так как нормальное напряжение по верхней грани (одно из главных напряжений) равно нулю, то напряженное состояние является плоским.
Ломаный стержень круглого сечения диаметром d нагружен силой F . Длины участков одинаковы и равны Значение максимального эквивалентного напряжения в стержне, по теории наибольших касательных напряжений, равно …
Опасное сечение в стержне расположено бесконечно близко к заделке. В данном сечении действуют изгибающий момент и крутящий момент На основании теории наибольших касательных напряжений эквивалентное напряжение в опасной точке круглого сечения определяется по формуле 
где Следовательно, 
Стержень прямоугольного сечения испытывает деформации изгиба в двух плоскостях и кручение. Напряженное состояние, которое возникает в опасных точках, будет …
Линейным и плоским
При оценке напряженного состояния в опасных точках прямоугольного сечения, когда оно работает на деформации изгиба в двух плоскостях и кручение, проверяют три точки: угловую, в середине длинной и в середине короткой сторон. В угловой точке возникают только нормальные напряжения. Следовательно, напряженное состояние будет линейным. В точках, расположенных в середине длинной и короткой сторон, наряду с нормальными напряжениями. появляются касательные. Поэтому в этих точках напряженное состояние будет плоским.
Задание 29
Жесткость поперечного сечения на изгиб по длине балки постоянна. Размер задан. Значение силы , при которой прогиб концевого сечения В будет , равно……
Криволинейный стержень радиусом нагружен силой .Жесткость поперечного сечения на изгиб задана. Вертикальное перемещение сечения В равно….
(т.к. 
)