ПРАВИЛО КО - ПРЕДЕЛ БЕСКОНЕЧНОСТИ Диаграмма 5-20Изображенная здесь ситуация называется положением Ко.На верхней доске нижний белый камень находится в положении атари. У него остался только один пункт дыхания, который черные могут занять, создав позицию, приведенную на

Раздел I Каратэ как оно есть В каратэ каждый находит то, что ищет… Гитин Фунакоши Каратэ – это путь, по которому многие идут всю жизнь, закаляя свое тело, укрепляя свой дух, открывая в себе все новые и новые способности и расширяя границы своих возможностей.Занимаясь

«То, что мы наблюдаем, это не природа сама по себе, а природа, представленная нашему методу наблюдения», - писал немецкий физик Вернер Гейзенберг, который первым понял неопределенность, присущую квантовой физике. Для тех, кто видит в науке прямой путь к истине мира, эта цитата может быть неожиданной или даже разочаровывающей.

Выходит, Гейзенберг считал, что наши научные теории зависят от нас как от наблюдателей? Значит ли это, что так называемая научная истина - не больше чем большая иллюзия?

Вы можете быстро возразить: почему тогда самолеты летают и антибиотики работают? Почему мы способны создавать машины, которые обрабатывают информацию с такой удивительной эффективностью? Разумеется, такие изобретения и многие другие основаны на законах природы, которые функционируют независимо от нас. Во вселенной есть порядок, и наука его постепенно раскрывает.
Да, это несомненно: во вселенной есть порядок, и задача науки - находить его схемы и закономерности, от кварков и млекопитающих до целых галактик, определять их общими законами. Мы устраняем ненужные сложности и сосредоточиваемся на сути, на основных свойствах изучаемой нами системы. Затем создаем описательный нарратив поведения системы, который, в лучших случаях, также легко предсказуем.
В пылу исследований зачастую упускается, что методология науки требует взаимодействия с изучаемой системой. Мы наблюдаем ее поведение, измеряем ее свойства, создаем математические или концептуальные модели, чтобы лучше ее понять. Для этого нам нужны инструменты, которые выходят за рамки нашего чувствительного диапазона: для изучения самого маленького, самого быстрого, самого далекого и практически недостижимого, как то недра нашего мозга или ядра Земли. Мы наблюдаем не саму природу, а природу, отраженную в данные, которые мы собираем при помощи наших машин. В свою очередь, научный взгляд на мир зависит от информации, которую мы можем получить при помощи наших инструментов. И если допустить, что наши инструменты ограничены, наш взгляд на мир определенно будет близоруким. Мы можем заглянуть в природу вещей только до определенного момента, и наш вечно меняющийся взгляд на мир отражает фундаментальное ограничение того, как мы воспринимаем реальность.
Достаточно вспомнить, какой была биология до появления микроскопов или секвенирования генов и какой была астрономия до появления телескопов, физика частиц до столкновения атомов в коллайдерах и появления быстрой электроники. Сейчас, как и в 17 веке, теории, которые мы создаем, и наш взгляд на мир меняются вместе с изменением наших инструментов исследования. Эта тенденция - отличительная черта науки.
Иногда люди принимают это заявление об ограниченности научного знания как пораженческое. «Если мы не можем дойти до сути вещей, зачем пытаться?». Но это неправильный подход. Нет ничего пораженческого в понимании ограничений научного подхода к знаниям. Наука остается нашей лучшей методологией создания консенсуса о принципах природы. Меняется лишь чувство научного триумфализма - убеждение, что ни один вопрос не останется за рамками научного понимания.
В науке определенно будут неизвестности, которые мы не сможем раскрыть, принимая существующие законы природы. К примеру, множественная вселенная: допущение, что наша вселенная - лишь одна из множества других, каждой со своим набором законов природы. Другие вселенные лежат за пределами нашего причинно-следственного горизонта, мы никогда не получим от них сигнал и не отправим свой. Любые доказательства их существования будут косвенными: например, след в микроволновом фоне космоса, оставшийся после столкновения с соседней вселенной.
Другие примеры принципиально непознаваемого можно обозначить тремя вопросами о происхождении: Вселенной, жизни и разума. Научные представления происхождения Вселенной будут неполными, потому что полагаются на концептуальные рамки: сохранение энергии, относительность, квантовая физика и другие. Почему вселенная действует по этим законам, а не по другим?
Точно так же, если мы не сможем доказать, что существует лишь один из нескольких биохимических путей, создающих живое из неживого, мы не сможем точно узнать, как появилась жизнь на Земле. В случае с сознанием проблема заключается в прыжке от вещественного к субъективному - например, от активации нейронов к ощущению боли или красного цвета. Возможно, какое-то рудиментарное сознание могло возникнуть в достаточно сложной машине. Но откуда нам знать? Как мы определяем - а не предполагаем - что что-то обладает сознанием?
Как это ни парадоксально, именно наше сознание наделяет мир смыслом, даже если эта смысловая картина будет несовершенной. Можем ли мы полностью понять то, частью чего являемся? Подобно мифической змее, которая кусает собственный хвост, мы застреваем в круге, который начинается и заканчивается нашим опытом жизни в этом мире. Мы не можем отделить наши описания реальности от того, как мы переживаем эту реальность. Это игровое поле, на котором разворачивается игра в науку, и если мы будем играть по правилам, мы сможем увидеть лишь толику того, что лежит за пределами этого поля.

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim - от английского limit - предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Как быстро может бежать человек? Как высоко и далеко он способен прыгнуть? И есть ли вообще предел физическим возможностям человека или результаты будут расти бесконечно?

Одним из первых над этим вопросом задумался тренер из Калифорнии Брюс Гамильтон, который в 1934 году выступил в роли предсказателя предельных рекордов в легкой атлетике. По его мнению, человек никогда не прыгнет выше рубежа 2 метров 11 сантиметров, а в беге на 100 метров наивысшим результатом будет 10,1 секунды. Большей нагрузки, по мнению Гамильтона, мышцы человека просто не способны выдержать.

В то время мировые рекорды легкоатлетов можно было считать близкими к предельным: на стометровке рекордсменом был американец Р. Меткальф с результатом 10,3 секунды, а результат лучшего прыгуна в высоту составлял 2 метра 6 сантиметров. Такую планку смог преодолеть У. Мартни из США. А значит, спринтеры могли добавить еще 0,2 секунды, а прыгуны – 5 сантиметров. И все – рекорды на этом закончатся? Ничего подобного, через несколько лет все предсказания Гамильтона рухнули.

В конце восьмидесятых физиологи назвали новые рубежи: бег на 100 метров – 9, 58 секунды, прыжки в высоту – 2 метра 56 сантиметров, прыжки в длину – 10 метров 33 сантиметра. А вот для марафонцев была установлена планка в 1 час 58 минут и 22 секунды.

Прошло еще 30 лет, и что мы видим? Мировой рекорд в беге на 100 метров, установленный легендарным Усэйном Болтом, точно повторяет прогноз ученых: на турнире в Берлине 16 августа 2009 года он показал именно такой результат – 9, 58 секунды. Получается, что это был последний мировой рекорд на стометровке?

Несколько лет назад Джон Бренкус, ведущий передачи «Спортивная наука», заявил, что результаты в этой дисциплине будут расти еще очень долго. И даже сделал долгосрочный прогноз – к 2909 году лучшие легкоатлеты мира будут пробегать дистанцию быстрее 9 секунд. Можно только позавидовать практичности Бренкуса – кто же будет помнить о его прогнозах через 900 лет?

В марафонском беге Бренкус также сдвинул планку рекорда, по его расчетам, лучший марафонец всех времен и народов сможет преодолеть дистанцию за 1 час 57 минут и 57 секунд. Сейчас мировой рекорд принадлежит Деннису Кимето из

Кении – 2 часа 2 минуты 57 секунд. Это значит, что есть еше резерв ровно в 5 минут.

В прыжках все немного сложнее. Здесь рекорды явно замедлились, а до максимально обозначенной планки результатам еще расти и расти. Например, в далеком 1993 году кубинец Хавьер Сотомайор взял рубеж в 2 метра 45 сантиметров, и вот уже четверть века никто не может приблизиться к его рекорду.

А в прыжках в длину Боб Бимон на Олимпийских играх 1968 года совершил, как тогда говорили, прыжок в XXI век, улетев на 8 метров 90 сантиметров. До XXI века рекорд, правда, не дотянул – в 1991 году Майк Пауэлл достиг рубежа 8 метров 95 сантиметров. И все, дальше никто не может прыгнуть уже 27 лет. Интересно, что спортсмены, показавшие результаты близкие к достижению Пауэлла, давно завершили свою карьеру.

Канадские биологи оспорили прошлогоднее утверждение ученых из США относительного того, что существует предел жизни человека – 115 лет. Они выдвинули предположение, что люди будут жить значительно дольше, чем предполагали американские ученые.

В 2016 году ученые из медицинского колледжа Альберта Энштейна в Нью-Йорке выяснили, что несмотря на то, что ожидаемая продолжительность жизни человека выросла в последнее столетие в два раза, максимальный возраст человека не меняется. Генетики Ян Вейг, Брэндон Милхолланд и Сяо Донг работали с базой данных человеческой смертности (Human mortality database) и обнаружили статистический предел человеческой жизни, равный приблизительно 115 годам.

По данным исследования оказалось, что, несмотря на постоянный рост продолжительности жизни весь двадцатый век, количество людей, умерших в возрасте около 110 лет, не меняется с конца 60-х годов XX века. Самый старый человек в истории наблюдений - француженка Жанн Калмент - умерла в 1997 году в возрасте 122 лет, но это исключение. Ян Вейг с коллегами сделали вывод, основываясь на обработке статистических данных, что шанс дожить до 125 лет составляет всего лишь 1 к 10000. Ученый объяснил свои выводы тем, что к возрасту 100-110 лет наступает необратимая «изношенность» всех органов, поэтому продлить жизнь человека дальше этого порога, по мнению Вейга, не представляется возможным.

Хекими против Вейга

Однако канадские ученые повторно проанализировали изменения в продолжительности жизни людей за последние 50 лет и пришли к выводу, что человечество пока не достигло предела жизни.

«Очень трудно предположить, как долго люди будут жить в далеком будущем, если этого предела не существует. Три сотни лет назад многие люди жили крайне недолго по современным меркам. Если бы им кто-то сказал, что однажды их потомки смогут прожить 100 лет, они бы подумали, что мы сошли с ума», - заявил Зигфрид Хекими из университета Макгилла в Монреале.

Зигфрид Хекими и его коллеги повторно проанализировали статистику по продолжительности жизни самых долгоживущих жителей США, Великобритании, Франции и Японии начиная с 1968 года и заканчивая сегодняшним днем. Они использовали ту же методику, что и Ян Вейг: их интересовало не количество смертей людей в определенном возрасте, а то, где происходит наиболее заметный спад в числе умерших людей при сравнении данных более ранних и более поздних лет. Если предела жизни нет, то эта «точка выживаемости», как называют ее ученые, будет передвигаться в сторону более пожилого возраста. Если же предел жизни существует, то эта точка в определенный момент остановится и не будет двигаться дальше.

Хекими отметил, что число долгожителей, которых отобрали для анализа американские биологи, было слишком небольшим для однозначных выводов, более того, они зачем-то разделили группу на два временных периода - до 1994 года и после. Хекими с коллегами расширили набор данных и проанализировали его целиком, не разделяя на сегменты. Анализ показал, что рост и средней, и максимальной продолжительности жизни не останавливался за это время , а значит, американские ученые обнаружили не предел жизни, а всего-навсего следы флуктуаций (колебаний) в максимальной продолжительности жизни.

Похожую флуктуацию Хекими и его коллеги обнаружили во временном периоде с 1968 по 1980 год, когда максимальная продолжительность жизни тоже оставалась на месте или даже падала, как и в последние два десятилетия. Соответственно, можно говорить, что мы пока не достигли предела жизни или что его не существует в принципе, заключают ученые.

Но есть разногласия

Авторы открытия «предела жизни» уже выразили несогласие с выводами Хекими. Они уверены, что их оппоненты используют неправильные методы анализа и некорректно считают, что статистика по максимальной продолжительности жизни подчиняется тем же математическим правилам, что и наборы абсолютно случайных значений. Поэтому, по мнению Яна Вейга и его коллег из университета Нью-Йорка, их выводы остаются верными, а критика Хекими - безадресной и некорректной.

Отметим, что концепцию Вейга о пределе жизни критиковали и раньше: калифорнийские ученые, работающие над «таблетками бессмертия», считают, что методами генной инженерии можно продлить жизнь на неопределенный срок. Известный геронтолог Обри де Грей давно утверждает в своих работах, что человек сможет жить до тысячи лет, причем речь идет о ком-то, кто уже сейчас достиг зрелости. Де Грей считает, что авторы работы о 115-летнем возрасте как пределе жизни учитывают только достижения медицины вчерашнего и может быть даже сегодняшнего дня, но не думает о будущем.

Другие оппоненты Вейга и его команды говорят, что все еще можно работать со старением на клеточном уровне. Например, Томас Кирквуд из университета Ньюкасла считает, что старение - это процесс, которым управляет накопление ошибок и повреждений в клетках и органах, и этот процесс можно до некоторой степени притормозить и компенсировать. В данном случае речь, впрочем, идет лишь о незначительном превышении срока максимальных сроков жизни.